22 марта 2023
Если к любому числу прибавить единицу, получится ещё бóльшее число! Не существует самого большого числа! — Ожидаемая реакция на заголовок
Формально число Грэма (Graham’s Number) на какой-то момент времени являлось самым большим числом, когда–либо участвовавшим в строгом математическом доказательстве. Сейчас известны числа и побольше, но, в отличие от других подобных сверхбольших чисел, число Грэма можно хотя бы попытаться морально осмыслить.
Сразу можно сказать, что число Грэма окажется больше любых возможных фантазий читателя (ну кроме тех фантазий, где у читателя появляется девушка).
Число Грэма конструируется перемножением троек со всевозрастающей «скоростью», причём конструирование разбито на 64 шага. Попытаться объять можно только 1й (из 64х) шаг конструирования числа — этому и посвящена данная статья.
В целом же, число Грэма — это просто занятная математическая конструкция, единственная польза которой на данный момент — это расширение пределов человеческого воображения.
Содержание:
Человечество на данный момент оперирует числами не более $10^{30}$ (число со 30 нулями):
<aside> 🪜 Здесь мы уже достигли пределов человеческой практической деятельности
</aside>
Переходя к теоретическим физическим расчётам, можно рассмотреть следующие числа:
Число атомов во Вселенной оценивается в $10^{81}$ штук
Объём Вселенной оценивается в $10^{185}$ планковских объёмов
<aside> 💡 Планковский объём $(V_p\approx4*10^{-105}\ м^3)$ — это минимальный объём «ячейки», которую можно «выделить» из Вселенной. Т.е. Вселенную нельзя «раздробить» на ещё более мелкие ячейки, чем на планковские объёмы. (это сильно упрощённое описание, но нам здесь точнее и не нужно)
</aside>
Если в каждый планковский объём записать цифру от 0 до 9, то максимальное число, которое можно записать таким образом, будет равно $10^{10^{185}}$. Т.е. если всю Вселенную (всю, бл, сказал) исписать цифрами размерами сильно меньше атома — то на таком Вселенском 3D-листе бумаги можно будет явным образом записать число не более $10^{10^{185}}$. Не такая уж ты и бесконечная, Вселенная!!! 😡
<aside> 🪜 Полученное число — это предельное число, которое ещё сохраняет ну хоть какую-то связь с физической Вселенной.
</aside>
Ещё бóльшие числа (превышающие $10^{10^{185}}$) уже появляются только в абстрактных математических моделях, и только там и обитают.
Вольным движением души можно родить что-то в духе степенной башни высотой, например, в 100 элементов:
$10^{100^{100^{100^{\ ...^{100}}}}}\Biggr]n=100$
<aside> 🪜 Где-то здесь незнакомый с большими числами читатель обычно уже упирается в пределы своего воображения
</aside>
И даже такие башни, и другие близкие к ним попытки записать сверхбольшое число — не выходят даже за самое начало 1го (из 64х) шага конструирования числа Грэма. Об этих самых «шагах» — ниже.